École des amours

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mardi 8 mars 2016

Damier de la multiplication


Voici ENFIN mon billet sur le damier terminé! ;)

Ce matériel est utilisé pour la multiplication à plus d'un chiffre au multiplicateur (exemple : 4679 x 45). Voici donc comment j'ai présenté les différentes étapes à ma grande.

Puisque c'est la première fois que l'enfant travaille avec ce matériel, on doit d'abord le présenter. 

On commence par pointer le carré vert en bas à droite. On explique qu'il est vert, car c'est le carré des unités et on pointe les chiffres 1 à droite et en bas de celui-ci. On se déplace ensuite sur la ligne du bas de la droite vers la gauche et on présente les autres cases. Le carré bleu, c'est le carré des dizaines ; le carré rouge, c'est le carré des centaines. L'enfant est tellement habitué aux couleurs hiérarchiques 'montessoriennes' qu'il le dira lui-même. ;) 

On passe alors à la ligne supérieure : à droite complètement, c'est un carré bleu. C'est donc un carré des dizaines. Puis on descend la diagonale des carrés bleus (on part du bleu de la deuxième rangée vers le bleu de la première rangée en bas). On mentionne alors à l'enfant que ces deux cases ont la même valeur ; les deux sont des cases des dizaines.    

Ensuite, on fait remarquer à l'enfant les nombres à droite : quand on monte sur le damier, on multiplie par 10 (1, 10, 100, 1000). Même chose pour les nombres du bas : quand on se déplace vers la gauche, on multiplie par 10 (1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000). Par contre, la valeur reste la même quand on se déplace sur la diagonale d'une même couleur. 

Voilà! On peut maintenant montrer à l'enfant comment lire des nombres sur ce damier. Pour cela, on prend une perle de 1 (rouge) que l'on place sur une case du bas. 
Exemple : si je place la perle sur la case bleue (case des dizaines) du bas, cette perle vaut 10.  

On déplace la perle sur une autre case du bas et on demande à l'enfant ce qu'elle vaut à cet endroit. 

Ensuite, on monte sur le damier et on questionne encore l'enfant. Si la perle se trouve sur les rangées supérieures, il faut parcourir la diagonale pour trouver la valeur de la perle. Il est ainsi plus simple de lire la valeur de la perle. 
Exemple : sur la photo de droite : on constate que la perle vaut 1000.


On refait le même exercice avec une autre perle. Ici, la perle rose de 3 est sur un carré vert ; elle vaut ici 3000. 
On fait le même exercice, mais en plaçant la perle sur une rangée supérieure. Donc, si on place la perle de 3 sur la case rouge 2e rangée... 
...on descend la diagonale et on voit que cette perle vaut 300.

Puis, lorsque l'enfant est à l'aise, on place plusieurs barrettes sur la première rangée.
Ici, l'enfant lira : 79 638

Lorsque l'enfant est à l'aise, on poursuit en mettant des barrettes sur une rangée supérieure. L'enfant devra penser descendre ces barrettes en suivant la diagonale pour arriver à bien lire le résultat. 
Ici, le nombre se lit : 46 480. 

Finalement, on place des barrettes n'importe où sur le damier. L'enfant descend les perles en suivant les diagonales et lit le résultat. 
     
                                          Ici, le nombre se lit : 436 570.

Même chose ici, mais cette fois, je me suis arrangée pour qu'il soit nécessaire de faire des changes pour lire le nombre à la fin.
L'enfant a descendu les perles en suivant les diagonales.
Il effectue le premier change à droite : la barrette de 8 (brune) + la barrette de 7 (blanche), cela fait 15. Je place donc une barrette de 5 sur le carré bleue (là où était les barrettes de 8 et de 7 auparavant) et je place une barrette de 1 (rouge) sur la case à côté à gauche. Ainsi, elle vaut 10 fois plus. En effet, chaque fois qu'on déplace une perle vers la case suivante de gauche, on la multiplie par 10. C'est tout simple! Mais je ne suis pas certaine d'être assez précise avec mes mots et mes photos ici. ;(

Ok, j'isole ces deux perles sur mon damier pour qu'on voit mieux et tenter d'être plus clair. ;)
Vous voyez : 8 (brune) + 7 (blanche) = 15 (donc barrette bleue (5) et barrette rouge sur la case de gauche puisqu'elle vaut 10 fois plus (pas seulement 1). Je devrais plutôt dire 80 + 70 = 150 puisqu'on est ici sur la case des dizaines. Mais pour les calculs de tête, ça se fait mieux en prenant les plus petits chiffres. L'important est que l'enfant sache bien qu'il est sur la case des dizaines, donc que sa barrette de 5 (bleue) vaut en réalité 50 ici et que la barrette de 1 (rouge) vaut en réalité 100 ici.  

Et on poursuit les changes. Sur la case rouge (100), on avait une barrette de 4 (jaune) et une perle 1 (rouge) qui s'est ajoutée après le premier change. Cela fait donc 5 (barrette bleue) ; elle vaut donc 500 sur cette case.
Sur le carré vert des milles, on a 5+6+2 = 13. Donc, on place  la barrette de 3 sur la case verte qui vaut 1000 et une perle de 1 (rouge) sur la case bleue immédiatement à gauche puisque cette perle représente le 10 du total 13.
Finalement, sur la case bleue des 1000, on a 3 + 1 = 4 (perle jaune). Le nombre se lit donc 443 550.


Ma grande a été rapidement à l'aise avec la lecture des nombres sur le damier, alors elle a pu rapidement apprendre comment faire les opérations sur le damier.  

1ère étape : 


Pour commencer, on montre la boîte des petits jetons des multiplicandes (en blanc) et des multiplicateurs (en gris). Sur la photo ci-dessus, la boîte des jetons est à droite. Ici, ma grande devait effectuer la multiplication 2786 x 45. Pour la première présentation, on montre à l'enfant comment placer les jetons de la multiplication à effectuer. En bas, c'est le multiplicande, donc on place les jetons blancs. À droite, c'est la multiplicateur, donc on place les jetons gris. Noter également que les chiffres sur les jetons sont en couleur. Donc, pour placer le multiplicande 2786, on prend un 2 vert que l'on place sous la case des unités de mille (bas du damier), puis un 7 rouge sous la case des centaines, un 8 bleu sous la case des dizaines et un 6 vert sous la case des unités. Même chose pour les jetons du multiplicateur (le 4 est en bleu et placé à droite de la case des dizaines et le 5 est en vert et placé à droite de la case des unités). Bon, ce n'est pas clair, mais avec la photo ci-dessus, cela devrait être aider à me suivre. ;) 

Voilà, on est prêt à multiplier!
On commence la multiplication par la case en bas à droite. On lit la multiplication 5 x 6 ou 6 prit 5 fois. L'enfant doit donc placer 5 barrettes de 6 sur la case des unités.

On poursuit avec 5 x 8 ou 8 prit 5 fois. Donc, l'enfant place 5 barrettes de 8 sur la case des dizaines. 

On a ensuite fait 5 X 7 (5 barrettes de 7 sur la case des centaines) et finalement 5 x 2 (5 barrettes de 2 sur la case des unités de mille). On a fini avec le multiplicateur 5, donc on retourne le jeton gris du 5. 

On poursuit alors avec la deuxième rangée. 4 x 6 (4 barrettes de 6 sur la case bleue des dizaines de la deuxième rangée du damier). 

Puis, 4 x 8 (4 barrettes de 8) ; 4 x 7 (4 barrettes de 7) et finalement 4 x 2 (4 barrettes de 2). 

Toutes les multiplications de la rangée ont été effectué, on peut retourner le jeton 4 du multiplicateur. 

Pour bien lire le résultat, on doit glisser les barrettes de la 2e rangée vers la 1ère rangée en suivant bien les diagonales. Il est important que les barrettes restent sur les carrés de la même couleur. Lorsque ma grande était plus haut et plus à gauche dans le damier, il lui est arrivé de dériver (bref, changer de couleur en descendant en diagonale). Je lui aie donc dit qu'elle pouvait nommer la couleur sur laquelle se trouve les perles avant de les descendre. Ainsi, si je dis : bleu... je sais que je dois descendre en diagonale en restant toujours sur des carrés bleus. ;)


Voilà! Toutes les perles sont réunies sur la rangée du bas! Cela fait beaucoup de perles! Il va falloir simplifier tout cela afin de lire le résultat.

On commence alors les changes par la droite (avec les unités). Sur la case des unités, on a 5 barrettes de 6. On commence en prenant 2 barrettes de 6. Cela fait 12. 

L'enfant remet ces deux barrettes de 6 dans la boîte en échange d'une perle de 1 (rouge) et d'une barrette de 2 (bleue). Il va placer la barrette de 1 sur la case à côté à gauche (oui! rappelez-vous quand on se déplace sur le damier vers la gauche, on multiplie par 10. Donc, ma perle de 1, si je la place sur la case à côté à gauche, elle vaut maintenant 10). + la perle de 2 que je place sur ma case verte des unités... j'ai bien 12. Vous me suivez? ;)

On poursuit le change avec encore 2 barrettes de 6 qui donne 12. Donc, une autre perle rouge de 1 que l'on place sur la case à gauche et une barrette de 2. Puis, si on additionne ce qui nous reste sur la case verte : 6 + 2 + 2 = 10. Donc...

... on place une autre perle rouge sur la case à côté à gauche (cela fait donc 10) et on a plus rien sur notre case verte des unités. 

On poursuit les changes en se déplaçant vers la gauche. On doit donc maintenant faire les changes sur le carré bleu des dizaines. Je n'aie pas prise de photos pour chaque change... ça deviendrait vite lourd et ennuyant à lire. ;)

Après avoir effectué tous les changes, on arrive au résultat : 125 370

Ma grande vérifie son calcul avec la calculatrice (elle adore!) et lit le nombre obtenu. 


2e étape :

Pour cette deuxième étape, l'enfant doit connaître une bonne partie des Tables de multiplication et pour ceux qu'il a oublié, il doit être capable de retrouver le résultat en utilisant des petits trucs. En effet, pour cette étape, les multiplications sont calculées au fur et à mesure.

Ici, nous allons effectuer la multiplication 7523 x 135
Donc, comme toujours, on commence par la rangée du bas à droite. On dit 5 x 3 = 15. On place alors une perle rouge sur la case de gauche (elle est ainsi multipliée par 10, et vaut alors 10) et une barrette de 5 sur la case des unités. 

Ensuite, 5 x 2 = 10. On va donc placer une perle rouge de 1 sur la case à côté (carré rouge). 

Ensuite, 5 x 5 = 25. Donc, une barrette de 2 que l'on place sur la case à côté à gauche pour faire 20 et une barrette de 5. 

Finalement 5 x 7 = 35. Ma grande montre avec ses mains où elle place les barrettes de ce résultat. ;)

Et voilà pour la première rangée. On retourne donc le jeton gris (5) du multiplicateur.

On passe alors à la 2e rangée. 3 x 3 = 9

3 x 2 = 6 ; 3 x 5 = 15 et 3 x 7 = 21

On retourne le multiplicateur 3 et on passe à la 3e rangée. 1 x 3 = 3 ; 1 x 2 = 2 ; 1 x 5 = 5 et 1 x 7 = 7.

On descend toutes les perles en suivant bien les diagonales (on doit rester sur les carrés de la même couleur puisqu'ils ont la même valeur). 

Voilà! Et bien, il ne reste plus qu'à faire les changes pour connaître le résultat! Pas besoin de rien faire pour les unités : on a 5. Sur la colonne des dizaines, on a une barrette de 9 et une de 1...

 Cela fait 10! On va ranger la barrette de 9 et celle de 1 dans la boîte, en échange d'une perle de 1 qui vaut 10 si je la place sur la case à gauche de celle où j'effectuais le change. ;)

On poursuit les changes...

... et voilà le résultat!

Ma puce arrive. Nomme la valeur de chaque perle (à présent, elle n'a plus besoin de les compter... elle sait que bleu = 5, mauve = 6, etc). Oui! Ces photos ont été prise il y a déjà plusieurs mois, ma puce avait encore ses beaux long cheveux blonds. ;( Je m'ennuie un peu de lui faire de belles queues de cheval ou tresses comme elle aimait. Ma grande, elle n'aime vraiment pas cela. :) Elles sont bien différentes mes amours ; une belle diversité riche que j'adore. ;)

Puis, toujours en équipe, on vérifie avec la calculatrice. Ma grande dicte les chiffres et ma puce les trouve sur la calculatrice. Ma grande lit le résultat : 1 015 605. 

3e étape : 

Pour cette troisième étape, les changes ne se font pas à la toute fin, mais chaque fois qu'une rangée est complétée. 
Donc, ici, nous avons la multiplication 2536 X 144.
On commence par multiplier par les unités du multiplicateur ; Donc 2536 x 4. Puisqu'on commence toujours par les unités, on va multiplier d'abord les unités du multiplicande par les unités du multiplicateur, donc 6 x 4. 

6 x 4 = 24.

Ensuite, 30 x 4 = 120. 500 x 4 = 2000. Finalement, 2000 x 4 = 8000. J'ai écrit les vraies valeurs, mais en pratique ma grande disait «3 x 4 =12 ; 5 x 4 = 20 et 2 x 4 = 8», pour simplifier le calcul mental, mais elle plaçait les perles sur les bonnes cases correspondantes. Reste à procéder aux changes de la première rangée. Je fais plus rapidement puisque cela revient au même que les premières étapes ; je voulais simplement montrer que pour la 3ème étape, on procède aux changes dès qu'une rangée est terminée. Donc, pas besoin de faire un change sur la case des unités puisqu'on a déjà qu'une perle (4 - jaune). Sur la case bleue des dizaines, nous avons deux 2 (vert).

Ma grande montre ici qu'elle échange ces deux barrettes vertes de 2 contre une barrette jaune de 4. ;)

Pour la case des centaines, rien ne change ; il n'y a qu'une perle de 1. Pour la case des milles (verte), nous avions une barrette de 8 (brune) et une barrette de 2 (verte). 8 + 2 = 10. On se retrouve donc avec plus de perle sur la case verte des milles et une barrette de 1 sur la case à gauche (la case bleue des 10 000). Le résultat de cette première rangée est donc 10 144. N'oubliez pas de retourner le chiffre gris des unités à droite puisque cette multiplication est effectuée.

On inscrit cette réponse à droite de notre feuille de calcul (là où nous décomposons notre multiplication). 

On procède ainsi pour les deux autres rangées. Je fais vite puisque vous avez compris! hihi! Bah! Je l'espère! Ce n'est pas évident à écrire tout cela. ;) Donc après calcul et change, nous obtenons 101 440. Et oui, cette fois, on multipliait des dizaines (2536 x 40).

Finalement, la troisième rangée en haut, nous donne : 2536 x 100 = 253 600.

On reporte tous ces résultats à gauche de notre feuille et on calcul le tout en additionnant nos trois résultats. Réponse de cette multiplication : 365 184. Note : ces feuilles pour les calculs proviennent de la Boutique de documents Montessori

Pour vérifier notre calcul, on utilise le damier. On descend toutes les perles en suivant les diagonales. 

Voilà! Maintenant, nous procédons aux changes. Sur la case bleue des dizaines, nous avons deux barrettes de 4 (jaune)...

4 + 4 = 8, alors voilà, on échange ces deux barrettes de 4 contre une barrette de 8 (brune) sur la case bleue des dizaines. 

Et on poursuit ainsi nos changes pour finalement obtenir la réponse : 365 184. Bingo! Cela concorde avec le résultat sur notre feuille. 

4e étape : 

Nous voilà parvenu à la dernière étape. Cette étape ressemble énormément à la 3ème étape ; la différence étant que, cette fois, l'enfant ne pose plus les retenues sur le damier, mais les retient dans sa tête (ou les écrit sur une feuille si il préfère). 

Donc, ici, la multiplication est 3426 x 313. On commence par 3 x 6 = 18. On place le 8 des unités et on garde en mémoire la retenue (1 qui vaut ici 10). Donc, pour cette étape, on ne place pas la perle de 1 sur la case à côté à gauche pour qu'elle représente 10. On garde cela dans notre tête! ;)

Ensuite, on fait 3 x 2 = 6 + 1 = 7 (bah oui, rappelez-vous ce qu'il y a dans votre mémoire ; la retenue 1). ;)
On poursuit avec 3 x 4 = 12. On place la perle de 2 (verte) et on garde la retenue 1, dans notre tête (elle sera additionnée à notre résultat de la case prochaine à gauche).

Donc, 3 x 3 = 9 + 1 = 10. Vous me suivez? Résultat de cette première rangée : 10 278.

On inscrit ceci sur notre feuille de calcul. 

On retourne le jeton gris des unités et on procède à la multiplication des dizaines. Donc : 3426 x 10 = 34 260. 
On inscrit ce deuxième résultat sous le premier. 

On retourne le jeton gris des dizaines puisque cette rangée est terminée d'être multipliée. On fait ensuite la dernière rangée : 3426 x 300. On commence par 3 x 6 = 18. On place la perle de 8 (brune) et on garde en tête la retenue. 

3 x 2 = 6 + 1 (la retenue dans notre mémoire ;) = 7 (barrette en blanc).

3 x 4 = 12. On place la barrette de 2 (verte) sur la case bleue de la troisième rangée et on garde la retenue en mémoire. 

Finalement, 3 x 3 = 9 + 1 = 10. 

On inscrit ce résultat sur notre feuille.

On fait glisser toutes les perles en suivant les diagonales. 

On procède au change en commençant par la droite. 


Et voici le résultat : 1 072 338. Même résultat que lorsqu'on additionne sur notre feuille de calcul. Vérification effectuée! ;)

Voilà!!!!!!!!!!! J'espère que je ne vous aie pas perdu en cours de route. C'est donc ainsi qu'a été présenté le damier chez nous suite à mes nombreuses lectures et recherches. J'espère que se sera utile à quelqu'un. C'est tellement long à écrire qu'à la longue, je commençais à m'interroger sur la pertinence d'écrire tout cela. Merci de me laisser un commentaire pour savoir si ceci vous est utile puisque je ne suis pas certaine de vouloir investir encore autant de temps sur des démonstrations qui ne servent pas.  

Comme il n'y a rien de mieux que des vidéos pour comprendre, je vous met des liens vers quelques vidéos. On ne voit pas toutes les étapes dans les vidéos, mais c'est un bon point de départ pour comprendre mon billet. Haha!

https://www.youtube.com/watch?v=XqlD6P3ogJc

https://www.youtube.com/watch?v=dbYLlpqrfUc





15 commentaires:

  1. Merci, ça me sera vraiment utile !
    A. a fini l'étape 1, on commence la 2 mais maintenant je sais précisement où je vais !

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  2. Merci beaucoup pour cet article très utile!
    Bonne soirée et encore merci d'avoir pris le temps d'écrire l'article.

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  3. Merci beaucoup pour cet article très détaillé, qui m'a permit de bien comprendre comment "fonctionnait" ce matériel qui m'intriguait ;)

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    1. Contente que cela serve à démystifier. ;)

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  4. Bonjour,
    j'adore les vidéos car je n'imaginais pas le rythme...ça va vite !
    Par contre, il y a une erreur de calcul dans la deuxième vidéo car l'enfant a posé une barre de perle de trop (il a pris sept barres de 5 au lieu de six) Du coup, je me demande comment on "doit" réagir et si le mode d'autocorrection ne peut être que la calculatrice ? Merci pour le partage d'expérience !
    petitecerise

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    1. Les vidéos donnent effectivement une très bonne idée de la première étape.

      Si l'enfant fait une erreur comme sur la vidéo, on ne dit rien. Il a clairement compris le principe, mais il a simplement été distrait pour cette case. ;) On peut utiliser un autre mode d'auto correction que la calculatrice. Par exemple, on peut préalablement écrire la réponse sur un papier que l'enfant regarde à la fin. Par contre, si l'erreur aurait été due à une mauvaise compréhension de l'utilisation du matériel, on remontre à l'enfant. Mais pour les erreurs de calcul, ça arrive de temps en temps à tous et on ne dit rien. L'important c'est de bien comprendre comment faire une multiplication.

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    2. Bonjour,
      dans mon enfance on nous enseignait la preuve par 9: https://fr.wikipedia.org/wiki/Preuve_par_neuf
      Cela permettait de retrouver quelques erreurs de calcul (mais pas toutes...)
      petitecerise

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    3. Oui, je me souviens avoir vu brièvement cette technique, probablement à l'école, mais on ne l'appliquait pas vraiment. ;)

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  5. Merci beaucoup d'avoir pris le temps d'écrire ce billet avec toutes les étapes. Ce billet est très précieux pour moi. Je ne savais pas comment aborder la multiplication par un nombre à deux chiffres avec mes CE2... J'avais vaguement entendu parlé du damier mais jamais de manière si détaillée ! Je vais essayer de construire le matériel qu'il faut pour ma classe et tenter cette approche l'année prochaine ! Merci ! Je viendrai le relire voir le re(relire) et m'entraîner déjà moi-même !

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    1. Je suis bien contente que cela puisse servir! ;)

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  6. Je vais le voir samedi en formation ce fameux damier ... depuis le temps ;-) Bon bah ça va me semblait bien plus clair ... Un garde merci pour tes précieux articles. Car malgré ma formation, comme je ne pratique pas régulièrement , entre mes deux filles c'est toujours sympa de refaire un tour sur la technique en images!!!

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    1. Merci! Mes articles me servent aussi lorsque je refais ces présentations à ma puce. ;) Plus besoin de lire à gauche et à droite pour trouver comment présenter cela. ;)

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  7. Bonsoir, merci beaucoup pour cette superbe explication très complète.
    C'est merveilleux d'être aussi généreux.
    Je vais l'appliquer à la lettre pour moi avant de la présenter.
    Encore merci.
    Léa

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